Bonjour
 
Dans le cadre de l'étude de l'élasticité linéaire, nécessaire à la construction de tout ouvrages, je me pose la question suivante :
 
Pourquoi un tenseur des déformations linéarisé infinitésimal nul implique l'absence de déformations ?
 
Le tenseur en question est le suivant :
 
e(i,j)=(du(i)/dx(j)+du(j)/dx(i))
 
Le theoreme fondamental à démontrer est le suivant
 
e(i,j)(x,y,z)=0 pour tout x,y,z du milieu continu ssi X=Q(t)x+V
 
où :
. X vecteur position finale
. x vecteur position initiale
. V est un vecteur quelconque
. Q(t) est un tenseur orthogonal qui ne dépent que du temps.
 
Ce qui signifie que si le tenseur des déformations est identiquement nul alors le milieu continu subit un mouvement rigide.
 
Merci pour vos réponses.

En cherchant un peu j'ai trouvé l'explication sur le Net.
 
http://perso.enstimac.fr/~jobbeduv/elascour.pdf
 
Le tenseur e(i,j) définit n'est pas insensible aux rotations du fait qu'il est infinitésitmal.
 
Il faut partir du tenseur plus général E=1/2(tF.F-I); avec F=grad X(x,t).
 
E=0 => tF.F=I soit F est un tenseur orthogonal.
 
Avec un peu de calculs et en suppossant X(x,t) de classe C2, on trouve finalement que X(x,t)=Q(t).x+V
 
On a montré que si E=0 alors le mouvement est un mouvement de corps rigide.
 
A+
 
 

J'ai rien compris. André Breton is alive.

Et bien pour donner une explication plus intuitive, on peut dire que le "tenseur des déformations" est une mesure de la déformation d'un matériau en chaque points.
 
Lorsque celui-ci est nul en tout point, le matériau ne subit aucune déformations.

aussi on peut dire que le materiau est dans la phase d`elasticitee lorsqu`il subit des deformations mais il revient a l`etat initial en revange il est dans la phase de plasticite lorsqu`il se deforme suivant les charges appliques

apres la phase de plasticite il y`a la repture du materiau.  merci

Oui c'est ça.
 
Dans le domaine élastique on peut utiliser la loi de Hooke qui est linéaire.
Dans le domaine plastique les choses se compliquent du fait de la non-linéarité des équations.
 
Cependant la plasticité est tolérée dans l'EUROCODE 3 Acier, suivant la classe de la section.
Ainsi que dans le béton armé BAEL 91.
Les poutres peuvent plastifier et la déformation est irréversible.
 
Les calculs en plasticité restent compliqués, le domaine élastique linéaire est plus accessible.

aR = MC2